ベクトルのクロス積 (1)

　ベクトルの掛け算（積）にはドット積とクロス積の２種類があり、その内のドット積については前回説明した。今回はクロス積について説明する

　３次元空間のベクトルとのクロス積はと書き、通常ＡクロスＢ（エー・クロス・ビー）と読む。

　クロス積は、方向と大きさを持ったベクトルで、その大きさは、とを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積となる。そして、その方向は、右ねじの法則あるいは右手の法則と呼ばれるルールにしたがう。すなわちからの方向に右ねじを回したとき、ねじが進む方向である。

　ここで、とを隣り合う２辺とする平行四辺形の面積は、とのなす角度をθとすると、

となる。これらの関係を図にすると、以下のようになる。からの方向に右ねじを回すと、右ねじは手前に浮き出してくる。すなわち、の方向は、平行四辺形の含まれる平面から垂直に手前に飛び出す方向となる。

　ここで、それぞれのベクトルの始点を座標の原点に移動し、ベクトルの終点の座標によってベクトルを表した場合に、この平行四辺形の面積がどのようになるかを考えてみよう。その大きさを、以下の図を用いて説明する。

　ここで、求めるものは平行四辺形OBCAの面積である。平行四辺形OBCAの頂点Ａの座標は の終点の座標で、頂点Ｂの座標はの終点の座標でであるから、平行四辺形の頂点Ｃの座標はとなる。

　四角形OBCC0の面積は、三角形OBB0と台形B0BCC0の和で、

となる。一方、この四角形から平行四辺形部分を取り去ってできる四角形OACC0の面積は、三角形OAA0と台形ACC0A0の和で、

である。これらの結果から、求める平行四辺形の面積は以下のようになる。

　この値は、以下に示すようにとによる行列式の値となっている。

　そして、この場合、とが-平面上にあるとすると、の方向は軸の方向を向いている。そして、その向きは右ねじの法則によれば、軸の正の方向である。したがって、軸方向の単位ベクトルをとすると、は、

と表される。

　同様に、-平面上にある原点を始点とするベクトルとの終点の座標がとで表されるとき、の方向は、右ねじの法則にしたがうと軸の正の方向を向いている。したがって、軸方向の単位ベクトルをとすると、は、

と表される。

　一方、-平面上にある原点を始点とするベクトルとの終点の座標がとで表されるとき、の方向は、右ねじの法則にしたがうと軸の負の方向を向いている。したがって、軸方向の単位ベクトルをとすると、は、

と表される。

　これらは、以下の図に示すように、３次元空間上のベクトルの各平面に射影した成分ベクトルのクロス積となっている。以下の図を見れば、軸から軸方向に右ねじを回すと、軸の負の方向にねじが進むことが分かるであろう。

　これらの３成分の和として、３次元のベクトルのクロス積は、以下の形式で表される。

(2011.8.8)